<p class="p1">Le dveloppement limit obtenu par le thorme de Young ou formule de
Taylor-Young ne donne  que des renseignements locaux sur la fonction,
c'est--dire au voisinage du point. C'est la formule de Taylor-Lagrange qui
permet d'encadrer la fonction sur un intervalle.
</p>

<h3>Cas particulier : Le thorme des accroissements finis</h3>
<div class="thm"><b>Thorme</b> : Soit \(f) une fonction continue sur [a,b], drivable
sur ]a,b[. Il existe \(c) dans  ]a,b[ tel que :
<div class="wimscenter">
\(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a))</div>
</div>
<p>
Ce thorme nous renseigne sur le comportement de \(f) sur
l'intervalle [a,b]  ; en particulier, si nous savons majorer, en valeur
absolue, la drive de \(f) sur cet intervalle, nous connaissons une
estimation de l'erreur faite en remplaant \(f(b)) par \(f(a)) :
</p>
<div class="wimscenter">
\((\exists k \in \RR, \quad \forall x \in [a,b], \qquad |f'(x)|\leq k) \quad \Rightarrow \quad
|f(b)-f(a)|\leq k (b-a))
</div>

<h3>Cas gnral : La formule de Taylor-Lagrange</h3>
<div class="thm">
<b>Thorme</b> : Soit \(f) une fonction de classe \(C^n) sur
[a,b] telle que la drive \(f^{(n+1)}) existe
sur ]a,b[. Il existe \(c) dans  ]a,b[ tel que :
<div class="wimscenter">
\(f(b)=f(a) + f'(a)(b-a)+f^{(2)}(a)\frac{(b-a)^2}{2}+\dots+f^{(n)}(a)
\frac{(b-a)^n}{n!})\(+f^{(n+1)}(c)\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!})
</div>
</div>

<p>
La formule de Taylor-Lagrange permet d'approcher une fonction par un
polynme sur un intervalle donn avec une estimation de l'erreur.
S'il existe \(k) tel que pour tout \(x) de [a,b], on ait
l'ingalit : \(|f^{(n+1)}(x)|\leq k), alors l'erreur faite
en remplaant, pour \(x) dans [a,b], \(f(x)) par \(f(a) +
f'(a)(x-a)+f^{(2)}(a)\frac{(x-a)^2}{2}+\dots+f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!})
est estime par l'ingalit :
</p>
<div class="wimscenter">
\(|f(x)-f(a)- f'(a)(x-a)-f^{(2)}(a)\frac{(x-a)^2}{2}+\dots-f^{(n)}(a)
\frac{(x-a)^n}{n!}|=)\(|f^{(n+1)}(c)\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}|\leq k\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!})
</div>.
